Übungszettel · 8 Aufgaben

Grundlagen & Einheitskreis

Gradmaß, Bogenmaß und die drei Winkelfunktionen am Einheitskreis.

Exakte Werte mit π und Wurzeln stehen lassen, wenn möglich. Dezimalwerte erst am Ende auf zwei Nachkommastellen runden. Für Gradangaben DEG verwenden, für Bogenmaß RAD.

Rechne im Heft oder im Notizfeld. Vergleiche anschließend mit dem Lösungsweg und markiere die Aufgabe als selbst geprüft. Die Markierung ist keine automatische Bewertung.

Formeln & Hinweise
Winkel umrechnen
180° = π rad; Winkel in rad = Winkel in Grad · π / 180.
Einheitskreis
P = (cos α | sin α), Radius 1; sin² α + cos² α = 1.
Tangens
tan α = sin α / cos α, nur für cos α ≠ 0.
Kreisbogen und Sektor
s = r · φ und A = ½ · r² · φ; φ muss im Bogenmaß angegeben sein.
Sinus und Kosinus am EinheitskreisDer Punkt P liegt bei 45 Grad auf dem Kreis mit Radius eins. Seine waagrechte Koordinate ist cos α, die senkrechte sin α.xy01Pcos αsin αα
Beispiel α = 45°: P = (cos α | sin α), Kreisradius 1.

Winkel und Koordinaten

Aufgabe 01

Gradmaß und Bogenmaß

Wandle 30°, 135° und 300° ins Bogenmaß um.

Wandle 5π/6 rad und 7π/4 rad in Grad um.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Von Grad zu rad mit π/180 multiplizieren: 30π/180, 135π/180 und 300π/180.
  2. Brüche kürzen. Umgekehrt mit 180/π multiplizieren: (5π/6) · 180/π = 150 und (7π/4) · 180/π = 315.

Ergebnis: π/6 rad; 3π/4 rad; 5π/3 rad. Umgekehrt: 150° und 315°.

Aufgabe 02

Gleicher Punkt auf dem Kreis

Gib zu 450°, −30° und 765° jeweils einen gleichgerichteten Winkel im Bereich 0° ≤ α < 360° an.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Eine volle Umdrehung von 360° ändert den Kreispunkt nicht.
  2. 450° − 360° = 90°; −30° + 360° = 330°; 765° − 2 · 360° = 45°.

Ergebnis: 90°; 330°; 45°.

Aufgabe 03

Punkte am Einheitskreis

Bestimme die exakten Koordinaten P = (cos α | sin α) für α = 30°, 120° und 225°.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Bei 30° gelten cos 30° = √3/2 und sin 30° = 1/2.
  2. 120° liegt im zweiten Quadranten mit Bezugswinkel 60°: x ist negativ, y positiv.
  3. 225° liegt im dritten Quadranten mit Bezugswinkel 45°: beide Koordinaten sind negativ.

Ergebnis: P₃₀ = (√3/2 | 1/2), P₁₂₀ = (−1/2 | √3/2), P₂₂₅ = (−√2/2 | −√2/2).

Aufgabe 04

Sinus, Kosinus und Tangens

Berechne sin α, cos α und tan α exakt für 150° und 330°.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Beide Winkel haben den Bezugswinkel 30°. Für 30° sind Sinus 1/2 und Kosinus √3/2.
  2. Bei 150° ist der Sinus positiv und der Kosinus negativ; bei 330° ist es umgekehrt.
  3. Den Tangens jeweils als Sinus geteilt durch Kosinus berechnen.

Ergebnis: 150°: sin = 1/2, cos = −√3/2, tan = −√3/3. 330°: sin = −1/2, cos = √3/2, tan = −√3/3.

Winkel bestimmen und anwenden

Aufgabe 05

Vom Punkt zum Winkel

Ein Punkt hat die Koordinaten P = (−0,6 | 0,8). Prüfe, ob er auf dem Einheitskreis liegt. Bestimme sin α, cos α, tan α und α im Bereich 0° ≤ α < 360°.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. (−0,6)² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1; der Punkt liegt auf dem Einheitskreis.
  2. cos α = −0,6 und sin α = 0,8. Daraus tan α = 0,8/(−0,6) = −4/3.
  3. Der Punkt liegt im zweiten Quadranten. α = arccos(−0,6) im DEG-Modus ergibt etwa 126,87°.

Ergebnis: sin α = 0,8; cos α = −0,6; tan α = −4/3; α ≈ 126,87°.

Aufgabe 06

Alle Winkel finden

Löse sin α = 0,5 vollständig für 0° ≤ α < 360°. Erkläre, warum arctrigonometrische Tasten allein leicht zu einer unvollständigen Antwort führen.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. arcsin(0,5) liefert den Hauptwert 30°.
  2. Sinus ist auch im zweiten Quadranten positiv: 180° − 30° = 150°.
  3. Im dritten und vierten Quadranten ist der Sinus negativ. Weitere volle Umdrehungen liegen außerhalb des Bereichs.

Ergebnis: α = 30° oder 150°. Die Umkehrfunktion liefert nur einen Hauptwert, nicht automatisch alle Winkel.

Aufgabe 07

Wann ist der Tangens nicht definiert?

Für welche Winkel in 0° ≤ α < 360° ist tan α nicht definiert?

Löse im selben Bereich tan α = 1.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. tan α = sin α / cos α ist bei cos α = 0 nicht definiert: 90° und 270°.
  2. tan 45° = 1. Tangens hat die Periode 180°, deshalb ist auch 225° eine Lösung.

Ergebnis: Nicht definiert bei 90° und 270°. tan α = 1 bei 45° und 225°.

Aufgabe 08

Kreisbogen und Kreissektor

Ein Kreis hat Radius 12 cm. Ein Sektor umfasst 75°. Berechne Bogenlänge und Sektorfläche exakt und näherungsweise.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. 75° entsprechen 75π/180 = 5π/12 rad.
  2. Bogenlänge: s = 12 · 5π/12 = 5π cm.
  3. Fläche: A = ½ · 12² · 5π/12 = 30π cm².

Ergebnis: s = 5π cm ≈ 15,71 cm; A = 30π cm² ≈ 94,25 cm².