Übungszettel · 8 Aufgaben

Quadratische Funktionen & Taschenrechner

Parabeln aufstellen, Scheitel und Nullstellen bestimmen und mit dem Taschenrechner prüfen.

Die Taschenrechner-Aufgaben verwenden Wertetabelle, Graph oder Gleichungslöser. Menünamen unterscheiden sich je nach Gerät. Ohne Grafikfunktion kannst du eine Wertetabelle erstellen und die Ergebnisse algebraisch prüfen. Näherungen auf zwei Nachkommastellen runden.

Rechne im Heft oder im Notizfeld. Vergleiche anschließend mit dem Lösungsweg und markiere die Aufgabe als selbst geprüft. Die Markierung ist keine automatische Bewertung.

Formeln & Hinweise
Normalform und Scheitelform
f(x) = ax² + bx + c = a(x − xₛ)² + yₛ, mit a ≠ 0 und Scheitel S = (xₛ | yₛ).
Scheitel
xₛ = −b/(2a); yₛ = f(xₛ). a > 0: Minimum; a < 0: Maximum.
Aus Nullstellen aufstellen
Bei Nullstellen r₁ und r₂: f(x) = a(x − r₁)(x − r₂). Ein zusätzlicher Punkt bestimmt a.
Taschenrechner prüfen
Klammern vollständig eingeben, ein passendes Graphenfenster wählen und gefundene Werte in die ursprüngliche Funktion einsetzen.

Quadratische Funktionen erstellen

Aufgabe 01

Eine Parabel untersuchen

Gegeben ist f(x) = x² − 6x + 5. Bestimme Scheitelform, Scheitel, Nullstellen, y-Achsenabschnitt und Wertebereich.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Quadratisch ergänzen: f(x) = (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4.
  2. Der Scheitel ist S = (3 | −4); die Parabel ist nach oben geöffnet.
  3. x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5), also Nullstellen 1 und 5. f(0) = 5.
  4. Das Minimum ist −4; für x ∈ ℝ sind alle Funktionswerte ab −4 möglich.

Ergebnis: f(x) = (x − 3)² − 4; S = (3 | −4); Nullstellen 1 und 5; y-Achsenabschnitt 5; Wertebereich [−4; ∞).

Aufgabe 02

Aus Scheitel und Punkt

Eine Parabel hat Scheitel S = (2 | −3) und verläuft durch P = (0 | 5). Stelle die Funktionsgleichung in Scheitel- und Normalform auf. Berechne f(4).

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Ansatz: f(x) = a(x − 2)² − 3.
  2. P einsetzen: 5 = 4a − 3, deshalb a = 2.
  3. Ausmultiplizieren: 2(x² − 4x + 4) − 3 = 2x² − 8x + 5.
  4. f(4) = 2 · 2² − 3 = 5; P und der Punkt bei x = 4 liegen symmetrisch zum Scheitel.

Ergebnis: f(x) = 2(x − 2)² − 3 = 2x² − 8x + 5; f(4) = 5.

Aufgabe 03

Aus Nullstellen und Punkt

Eine Parabel hat die Nullstellen −2 und 4 und verläuft durch P = (0 | −8). Bestimme ihre Gleichung und ihren Scheitel.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Ansatz: f(x) = a(x + 2)(x − 4).
  2. Bei x = 0: −8 = a · 2 · (−4) = −8a, also a = 1.
  3. f(x) = x² − 2x − 8 = (x − 1)² − 9.

Ergebnis: f(x) = x² − 2x − 8; S = (1 | −9).

Aufgabe 04

Aus drei Punkten

Bestimme f(x) = ax² + bx + c durch P = (0 | 1), Q = (1 | 0) und R = (3 | 4).

Lösungsweg & Ergebnis
  1. P liefert c = 1. Q liefert a + b + 1 = 0, also a + b = −1.
  2. R liefert 9a + 3b + 1 = 4, also 3a + b = 1.
  3. Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt 2a = 2, daher a = 1 und b = −2.
  4. Einsetzen aller drei Punkte bestätigt die Werte.

Ergebnis: f(x) = x² − 2x + 1 = (x − 1)².

Sachaufgaben und Taschenrechner

Aufgabe 05

Brückenbogen modellieren

Ein symmetrischer parabelförmiger Brückenbogen ist 12 m breit und in der Mitte 9 m hoch. Lege den Ursprung auf die Grundlinie unter der Mitte. Bestimme h(x), den sinnvollen x-Bereich und die Höhe 4 m rechts der Mitte.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Der Scheitel liegt bei (0 | 9), also h(x) = ax² + 9.
  2. Die Endpunkte liegen bei x = −6 und x = 6. Aus h(6) = 0 folgt 36a + 9 = 0 und a = −1/4.
  3. h(4) = −¼ · 16 + 9 = 5. Der Brückenbogen wird nur für −6 ≤ x ≤ 6 modelliert.

Ergebnis: h(x) = −0,25x² + 9 für −6 ≤ x ≤ 6; Höhe bei x = 4: 5 m.

Aufgabe 06

Wertetabelle, Graph und Nullstellen

Untersuche f(x) = 0,5x² − 3x + 1 mit dem Taschenrechner. Erstelle eine Wertetabelle für x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Bestimme Scheitel und Nullstellen. Für einen Graphen eignet sich x von 0 bis 6 und y von −5 bis 3.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Funktion exakt eingeben, insbesondere 0,5 · x² und −3 · x. Die Tabelle ergibt 1; −1,5; −3; −3,5; −3; −1,5; 1.
  2. Das Minimum liegt bei x = −b/(2a) = 3; f(3) = −3,5.
  3. Im Gleichungslöser die Koeffizienten a = 0,5, b = −3, c = 1 verwenden. Algebraisch: x² − 6x + 2 = 0.
  4. Die Nullstellen sind 3 ± √7. Durch Einsetzen oder die Graphenschnittpunkte mit der x-Achse kontrollieren.

Ergebnis: Tabelle: 1; −1,5; −3; −3,5; −3; −1,5; 1. S = (3 | −3,5); Nullstellen x ≈ 0,35 und x ≈ 5,65.

Aufgabe 07

Flugbahn mit Gleichungslöser

Ein Ball folgt dem Modell h(t) = −5t² + 20t + 1,5, t in Sekunden und h in Metern. Bestimme die maximale Höhe samt Zeitpunkt und den Zeitpunkt, an dem er den Boden erreicht. Nutze den Taschenrechner und prüfe, welche Lösung sinnvoll ist.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Scheitelzeit tₛ = −20/(2 · (−5)) = 2 s. h(2) = −20 + 40 + 1,5 = 21,5 m.
  2. Für den Bodenkontakt h(t) = 0 lösen. Im Gleichungslöser a = −5, b = 20, c = 1,5 eingeben.
  3. Es ergeben sich t = (20 ± √430)/10, näherungsweise −0,07364 s und 4,07364 s.
  4. Negative Zeit liegt vor dem Modellstart t = 0 und wird verworfen.

Ergebnis: Maximale Höhe 21,50 m nach 2 s; Bodenkontakt nach etwa 4,07 s.

Aufgabe 08

Nullstelle oder Schnittpunkt?

Gegeben sind f(x) = x² − 4x + 3 und g(x) = x + 1. Bestimme zuerst die Nullstellen von f und dann die Schnittpunkte von f und g. Erkläre den Unterschied.

Lösungsweg & Ergebnis
  1. Nullstellen von f lösen f(x) = 0: (x − 1)(x − 3) = 0, also x = 1 oder 3.
  2. Schnittpunkte lösen f(x) = g(x): x² − 4x + 3 = x + 1, also x² − 5x + 2 = 0.
  3. x = (5 ± √17)/2 ergibt etwa 0,43845 und 4,56155. Für die y-Werte jeweils 1 addieren.
  4. Nullstellen liegen auf der x-Achse. Gemeinsame Punkte zweier Graphen müssen nicht auf der x-Achse liegen.

Ergebnis: Nullstellen: 1 und 3. Schnittpunkte ungefähr (0,44 | 1,44) und (4,56 | 5,56).